Đơn ánh, song ánh, toàn ánh

Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.

Đơn ánh

Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.

Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x1 và x2 thuộc X và nếu x1 ≠ x2 thì f(x1) ≠ f(x2).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

∀ x 1 , x 2 ∈ X ; x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in {\mathit {X}}\,\!;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm

Toàn ánh

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao cho f(x) = y. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là tạo ảnh của ít nhất một mẫu x thuộc X qua ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X : f ( x ) = y {\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y} cũng tức là f ( X ) = Y {\displaystyle {\mathit {f(X)=Y}}\,\!}

Đồ thị hàm y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,} cắt đường thẳng y = y 0 ∀ y 0 {\displaystyle y=y_{0}\forall y_{0}}

Song ánh

Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách khác, f là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác định trên tập hợp số nguyên  vào, được định nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị.

Tập hợp tất cả các song ánh từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thường tập các hoán vị của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác

Minh hoạ

Đơn ánh nhưng không phải toàn ánh		Toàn ánh nhưng không phải đơn ánh		Song ánh

Hàm hợp và hàm ngược

Hàm hợp

Cho các hàm số:

f 1 : X → Y {\displaystyle f_{1}\colon X\to Y} f 2 : Y → Z {\displaystyle f_{2}\colon Y\to Z}

trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f1 và f2 là hàm số:

f : X → Z {\displaystyle f\colon X\to Z}

được định nghĩa bởi:

f ( x ) = f 2 ( f 1 ( x ) ) ; x ∈ X {\displaystyle {\mathit {f(x)=f_{2}(f_{1}(x));x}}\in X}

Có thể ký hiệu hàm hợp là:

f = f 2 ∘ f 1 {\displaystyle f=f_{2}\circ f_{1}}

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp f2(f1(x)), trong đó f2(y) = sin(y), f1(x) = (x2 +1).

Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.

Hàm ngược

Cho hàm số song ánh:

f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}

trong đó X, Y là tập hợp số nói chung.Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

f − 1 : y ↦ x = f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}\colon y\mapsto x=f^{-1}(y)}

Nếu f−1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f−1(x) và ngược lại.